积分uvdx变成积分udv（从积分$umathrm{d}v$到积分$mathrm{d}u,v$）

从积分$u\\mathrm{d}v$到积分$\\mathrm{d}u\\,v$

积分是微积分的核心内容之一，是一种求解曲线下面积的方法。在积分的计算中，经常需要进行变量替换或者分部积分等操作，本文将介绍一种将积分$u\\mathrm{d}v$变为积分$\\mathrm{d}u\\,v$的方法。

分部积分

分部积分是一种将积分中的积分因子分离出来，并对其进行求导，再求积分的方法。具体而言，设原式为$\\int u\\mathrm{d}v$，则通过部分积分，可将其变为$\\int \\mathrm{d}u\\,v$或者$\\int u\\,\\mathrm{d}v$（取决于$u$和$v$的特性）。这一方法常用于计算多项式、三角函数等积分。

以$\\int xe^x\\mathrm{d}x$为例，设$u=x$，$\\mathrm{d}v=e^x\\mathrm{d}x$，则$\\mathrm{d}u=\\mathrm{d}x$，$v=\\int e^x\\mathrm{d}x=e^x$，则原式可表示为：

$$ \\int xe^x\\mathrm{d}x=x\\int e^x\\mathrm{d}x-\\int e^x\\mathrm{d}x=x e^x-\\int e^x\\mathrm{d}x $$

最终得到的积分$\\int e^x\\mathrm{d}x$可以通过直接积分得到，因此该积分的解就是$x e^x-e^x+C$。

换元积分法

换元积分法是一种利用变量替换将积分中的式子变为新的形式，以便更方便地求解的方法。设$y=g(x)$是一种可导函数，若在积分$\\int f(x)\\mathrm{d}x$中将$x$用$y$表示，即令$x=h(y)$，则有$\\mathrm{d}x=h'(y)\\mathrm{d}y$，从而有：

$$ \\int f(x)\\mathrm{d}x=\\int f(h(y))h'(y)\\mathrm{d}y $$

通过这样的变换，原积分被转化为了一个与$x$无关的积分，可以更加方便地求解。

以$\\int x^2\\sin x\\mathrm{d}x$为例，设$y=x^2$，则有$\\mathrm{d}y=2x\\mathrm{d}x$，从而有：

$$ \\int x^2\\sin x\\mathrm{d}x=\\frac{1}{2}\\int \\sin x\\mathrm{d}(x^2)=\\frac{1}{2}\\int \\sin y\\mathrm{d}y=-\\frac{1}{2}\\cos y+C=-\\frac{1}{2}\\cos(x^2)+C $$

因此，原积分的解就是$-\\frac{1}{2}\\cos(x^2)+C$。

使用变量替换进行分部积分

除了分部积分和换元积分法之外，还有一种将积分$u\\mathrm{d}v$变成积分$\\mathrm{d}u\\,v$的方法，这种方法是使用变量替换进行分部积分。

设原式为$\\int u\\mathrm{d}v$，考虑进行变量替换，令$t=u$，则积分可表示为：

$$ \\int u\\mathrm{d}v=\\int t\\mathrm{d}v $$

这种积分我们还不能直接求解，但可以发现，如果将$v$看作$t$的函数，则$\\mathrm{d}v$可以被表示为$t$的导数$\\frac{\\mathrm{d}v}{\\mathrm{d}t}$与$\\mathrm{d}t$的乘积。从而原式可以变形为：

$$ \\int t\\frac{\\mathrm{d}v}{\\mathrm{d}t}\\mathrm{d}t=\\int \\frac{\\mathrm{d}(tv)}{\\mathrm{d}t}\\mathrm{d}t=tv-\\int v\\mathrm{d}t $$

因为$t=u$，所以$t$的导数就是$u$的导数，即$\\frac{\\mathrm{d}t}{\\mathrm{d}u}=1$，因此$\\mathrm{d}t=\\mathrm{d}u$，从而有：

$$ \\int u\\mathrm{d}v=uv-\\int v\\mathrm{d}u $$

这样，我们就将积分$u\\mathrm{d}v$变成了积分$\\mathrm{d}u\\,v$。

以$\\int x\\ln x\\mathrm{d}x$为例，设$u=\\ln x$，则有$\\mathrm{d}u=\\frac{1}{x}\\mathrm{d}x$，从而有：

$$ \\int x\\ln x\\mathrm{d}x=\\int \\ln x\\,\\mathrm{d}(x^2/2)=\\frac{1}{2}\\int\\ln x\\,\\mathrm{d}(x^2)=\\frac{x^2}{4}\\ln x-\\frac{1}{4}\\int x\\mathrm{d}(\\ln x)dx=\\frac{x^2}{4}\\ln x-\\frac{x^2}{8}+C $$

因此，原积分的解就是$\\frac{x^2}{4}\\ln x-\\frac{x^2}{8}+C$。

总结

本文介绍了一种将积分$u\\mathrm{d}v$变成积分$\\mathrm{d}u\\,v$的方法，该方法通过变量替换的方式进行分部积分，可以有效地化简复杂的积分表达式。此外，本文还介绍了常见的分部积分和换元积分法两种积分方法。对于不同的积分题目，我们可以选择不同的积分方法来求解，从而得到积分的解答。